» Questões » Matrizes, Determinantes e Sistemas

exercícios sobre operações com matrizes

1) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que aij = 2i – 3j.

2) Dada a matriz , calcule a11 + a21 – a13 + 2a22.

3) Dada a matriz C = , calcule 3a31 – 5a42.

4) Considere o sistema

a) Escreva sob forma de matriz os valores numéricos que aparecem no sistema.

b) Escreva sob forma de matriz apenas os coeficientes das incógnitas.

c) Dê os tipos das matrizes do item a e do item b.

5) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:

Tamanho 35

30 pares

Tamanho 36

50 pares

Tamanho 37

25 pares

Tamanho 38

18 pares

Tamanho 39

10 pares

Tamanho 40

7 pares

    Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:

Tamanho

35

36

37

38

39

40

Quantidade da marca Y

8

7

9

28

10

8

Quantidade da marca Z

0

10

15

12

9

3

    a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.

    b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?

    c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?

    d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a35 e a22 da matriz do item a.

6) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que:

    aij = 2i – 3j se i = j e aij = 3i – 2j se i ¹ j.

7) Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.

8) Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem?

9) Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz.

10) Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta.

11) Dado o vetor podemos representá-lo por uma matriz coluna. Será que você consegue? Como?

12) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que aij = 2i + 3j.

13) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 2i + 3j.

      b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 3i + 2j.

14) O elemento a31 do exercício 12 e o elemento a13 do exercício 13a são iguais? Justifique sua resposta.

15) a) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13a são uma transposta da outra?

      b) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13b são uma transposta da outra?

      c) Justifique as suas respostas.

16) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que aij = (2i -3j)/2.

      b) De que tipo é a matriz At da matriz do item a?

      c) Determine a matriz At da matriz A do item a?

17) Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta.

18) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = (i/3) + 3j.

      b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.

      c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?

19) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que aij = i – j.

      b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?

20) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:

           aij = 0 quando i ¹ j e aij = i/j quando i = j.

       b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.

21) Dadas as matrizes   

      Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

22) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes  e .

23) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes  sejam iguais.

24) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.

25) Verifique se a matriz  é oposta à matriz .

26) Seja   calcule o valor de k.

27) Seja   existe k tal que P = kN? Justifique a sua resposta.

28) Sendo  e  

      Resolva as equações matriciais abaixo, determinando o valor da matriz X.

a)    X + A = 2B – C.

b)    X – C = 2A + 3B.

c)    X + 2B = 3A – C.

29) Sendo  e

      a) Calcule AB              b) Calcule BA             c) Calcule A2              d) Calcule B2

30) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:

     a)         b)

31) Seja dada a equação matricial: .

a)  Identifique o tipo da matriz X.

b)  Determine a matriz X.

32) Determine o produto da matriz pela matriz transposta em cada um dos itens abaixo.

     a)         b)

33) Determine as inversas das matrizes:

     a)       b)       c)       d)

34) Dadas as matrizes: ;   e

a)       Se for possível, atribua valores numéricos para a e para b da matriz B para que A-1 = B. Justifique sua resposta.

b)       Se for possível, atribua valores numéricos para b e para d da matriz C para que A-1 = C. Justifique sua resposta.

35) Dadas as matrizes:   determine a matriz X tal que X = A-1.B.

36) Verifique se existe o valor numérico para m da matriz , para que ela seja a matriz inversa de . Justifique sua resposta.

» Leia mais e Envie seus comentários


exercícios sobre determinates

    

      a) 64       b) 8       c) 0        d) 4        e) -64             RESPOSTA: D

 

                  

       a) 2 ou -2      b) 1 ou 3      c) -3 ou 5      d) -5 ou 3       e) 4 ou -4     RESPOSTA: A

 

                               

       a) não se define;     

       b) é uma matriz de determinante nulo;

       c) é a matriz identidade de ordem 3;

       d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;

       e) não é matriz quadrada.                                     RESPOSTA: B

 

       a) duas linhas proporcionais;

       b) duas colunas proporcionais;

       c) elementos negativos;

       d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;     

       e) duas filas paralelas iguais.                                     RESPOSTA: D

 

       a) -9        b) -6       c) 3       d) 6        e) 9      RESPOSTA: E

 

      é igual a:

      a) 7         b) 8        c) 9       d) 10      e) 11     RESPOSTA: C

 

07) Seja a matriz . Determine os seguintes cofatores: A23, A21, e A22.

 

08) Seja

  a) Determine: A12 e A14.

  b) Calcule o valor dos cofatores A12 e A14.

  c) Calcule o valor do determinante de A desenvolvendo pelos elementos da 1ª linha.

 

09) Calcule o valor do

  a) Utilizando os cofatores da 2ª linha.

  b) Utilizando a regra de Sarrus.

 

10) Resolva as equações

      a) = 12, utilizando os cofatores da 3ª linha.       b)

      c) , pela Regra de Sarrus.        d)

 

11) Dadas as matrizes e

Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus, de cada uma das matrizes a seguir:

a) A          b) B          c) A + B          d) A.B

 

12) Dadas as matrizes e

Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus:

a) At          b) Bt          c) (A - B)t

 

13) Sendo e, calcule o número real x, tal que det (A – xB) = 0.

 

14) Resolva a equação

 

15) Dada a Matriz , determine o valor do determinante da matriz M2.

» Leia mais e Envie seus comentários


exercícios sobre sistemas lineares e discussão de sistemas

1) Resolva o sistema linear

2) Se o sistema linear é impossível, então

a) a = 0         b) a = -14/3         c) a = 3/4         d) a = 1        e) a = 28

3) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos        b) 3 anos      c) 4 anos        d) 5 anos      e) 10 anos

4) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era

a) 96          b) 98           c) 108         d) 116           e) 128

5) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.

6) Seja o sistema .

a)    Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.

b)    Verifique se (0,0,0) é solução de S.               Resp: a) é       b) não é

7) Seja o sistema:

   

    Calcule k para que o sistema seja homogêneo.        Resp: k = -3

8) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

     e

                                                              Resp: m = 0 e n = 1

9) Expresse matricialmente os sistemas:

a)                    b)

10) A expressão matricial de um sistema S é  Determine as equações de S.

11) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

a)        Resp: {(1,2)}              b)     Resp: {(3,2)}

12) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

a)   Resp:{(1,2,3)}       b)    Resp: {(6,4,1)}

13) Resolva as equações matriciais:

      a)       Resp: (2    5)t                  b)       Resp: (1   2   -1)t

Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:

14) Discuta os sistemas:

      a)                   b)                    c)

15) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.

a)                 b)                  c)

16) Determine a e b para que o sistema  seja indeterminado.

17) Calcule os valores de a para que o sistema  seja compatível e determinado.

18) Dê os valores de a para que o sistema seja compatível e determinado.

19) Dê o valor de a para que o sistema seja impossível.

20) Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado.

21) Ache m para que o sistema  tenha soluções próprias.

22) Qual o valor de p para que o sistema admita uma solução única?

23) (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear é compatível e determinado?

» Leia mais e Envie seus comentários


questões de vestibular

1. (UFJF-03) A tabela abaixo fornece a quantidade de proteína, carboidrato e gordura, contida em cada grama dos alimentos A, B, C e D. Um nutricionista deseja preparar uma refeição, composta somente por esses alimentos, que contenha exatamente 50 unidades de proteínas, 21 unidades de carboidrato e 24 unidades de gordura. Então, quanto às maneiras de se combinarem quantidades desses quatro alimentos, em números inteiros de gramas, para compor tal refeição, é correto afirmar que:

A) não existe tal maneira;  x

B) existe uma única maneira;

C) existem exatamente duas maneiras;

D) existem exatamente três maneiras;

E) existem infinitas maneiras.

2. (UFMG-03) Feita uma pesquisa sobre 3 alimentos que contêm vitaminas A, B e C, em uma quantidade de 1 g, determinou-se que:

Se são necessárias 13 unidades de A, 16 unidades de B e 21 unidades de C, a quantidade de alimentos I, II e III que fornece a quantidade de vitamina desejada é de:

A) 2I + 3II + 1III  x      B) 2I + 2II + 2III      C) 1I + 2II + 1III      D) 3I + 1II + 2III

3. (UFJF-02) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$20,50 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a:

A) R$7,50  x      B) R$8,00      C) R$8,00      D) R$9,00      E) R$10,00

4. Na matriz abaixo, resolvendo seu determinante, qual será o resultado obtido?

A) 1      B) sem x      C) sen2 x      D) sen3 x   x

5. (UNESP-03) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi:

A) 1.800      B) 1.500      C) 1.400      D) 1.000      E) 800

6. (PUCSP-03) Indica-se por det A o determinante de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A = (aij), de ordem 2, em que

Quantos números reais x, tais que –2p<x<2p , satisfazem a sentença det A = 1/4?

A) 10      B) 8      C) 6      D) 4      E) 2

7. (ULBRA- 03) Determinando os valores de a e b, a fim de que o sistema

seja indeterminado, o produto ab é:

A) 36      B) 24      C) 18      D) 12 x      E) 6

8. (UFRGS-03) Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações

então a+b+c vale:

A) 2      B) 1 x      C) 0      D) -1      E) -2

9. (LBRA-03) Sendo

os valores de x e y para que

são:

A) x = y = 2;       B) x = 0 e y = 1;  x       C) x = 1 e y = 2;       D) x = 1 e y = 2;       E) x = 0 e y = 2.

10. (PUCRIO-03) Assinale a afirmativa correta.

O sistema:

A) não tem solução.

B) tem uma solução única x = 1, y = 0, z = 0.

C) tem exatamente duas soluções.

D) tem uma infinidade de soluções.  x

E) tem uma solução com z = 1.

11. (FGVRJ-03) Se 5x + 7y + 2z = 33 e 2x + 3y + z = 12, então x + y é igual a:

A) 6      B) 7      C) 8      D) 9 x      E) 10

12. (FGVRJ-03) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares.

então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente:

A) 1 e 1      B) 2 e 2      C) 2 e 3 x      D) 3 e 1       E) 3 e 2

13. (PUCSP-03) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente.

Sejam as matrizes

• os elementos de cada linha de A corresponde às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha);

• os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa;

• os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa;

Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é:

A) R$ 53,00  x      B) R$ 55,00      C) R$ 57,00      D) R$ 62,00      E) R$ 65,00

14. (FGVSP-02) O sistema linear abaixo

 

A) é impossível

B) admite apenas uma solução

C) admite apenas duas soluções

D) admite apenas três soluções

E) admite infinitas soluções  x

15. (UNESP-02) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3.

 

Analisando a matriz, podemos afirmar que:

A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11

B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30

C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40

D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52

E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45  x

16. (FUVEST-02) S (x, y) é solução do sistema

A) 1      B) -1      C) 1/3      D) -3/2  x      E) 2/3

17. (UFC-03) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:

A) R$ 5,00 e R$ 3,00

B) R$ 6,40 e R$ 4,30

C) R$ 5,50 e R$ 4,00

D) R$ 5,30 e R$ 4,50

E) R$ 6,00 e R$ 4,00  x

18. (UPE-03) Discuta o sistema:

Segundo os valores de m, m Є IR

A) m = 6, o sistema é impossível

B) m ≠ 6, o sistema é indeterminado

C) m = 6, o sistema é determinado  x

D) m ≠ 6, o sistema é determinado

E) qualquer que seja o m pertencente a R, o sistema é possível.

19. (UNIBAHIA-03) Considerando-se a matriz

e det A = 4, pode-se afirmar que o valor de x é igual a:

A) -3      B) -1      C) 1      D) 2      E) 3  x

» Leia mais e Envie seus comentários




página 1


Copyright © 2003/2010 Todos os direitos reservados - amintas@matematiques.com.br

Desenvolvido por Ronnan del Rey